微分　a^x

$3$\displaystyle{{ $ {a}^{x} $ }^{\prime }={a}^{x}\log a}$

注：このサイトでは自然対数を $3$ lna$ ではなく， $3$ \log a$ と表記するようにしている．

■導出

$3$\displaystyle{{ $ {a}^{x} $ }^{\prime }={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {a}^{ x+{\Delta}x }- {a}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {a}^{x} $ {a}^{ {\Delta}x }- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={a}^{x}{ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {a}^{ {\Delta}x }- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{a}^{ {\Delta}x }- 1=t}$ とおくと， $3$\displaystyle{ {\Delta}x\rightarrow 0 }$ のとき $3$\displaystyle{ t\rightarrow 0 }$ となる．また

$3$\displaystyle{ {a}^{ {\Delta}x }=1+ t }$

$3$\displaystyle{ \log {a}^{ {\Delta}x }=\log $1+ t$ }$

$3$\displaystyle{ {\Delta}x\log a=\log $1+ t$ }$

$3$\displaystyle{ {\Delta}x=\frac{\hspace{2} \log $1+ t$ \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}} }$

となる．よって，

$3$\displaystyle{={a}^{x} \{ { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} \log $ 1+t $ \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}} \hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{ \left{{ {a}^{x}\log a }\right}\left{{ { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2} \log \left({ 1+t }\right) \hspace{2}} }\right} }$

$3$\displaystyle{= \{ {a}^{x}\log a \} \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \log $ 1+t $ \hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} \hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{={a}^{x}\log a}$ 　（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \log $ 1+t $ \hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}=1}$ 　⇒ここを参照）

指数関数の微分も参考のこと

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最終更新日： 2025年11月4日

微分 a^x

微分　a^x